0Przypomnij sobie
- Przez 2: ostatnia cyfra parzysta (0, 2, 4, 6, 8).
- Przez 5: na końcu 0 lub 5. Przez 10: na końcu 0.
- Przez 3 i przez 9: dodaj cyfry. Jeśli suma dzieli się przez 3 (albo 9), to cała liczba też.
- Przez 4: patrz tylko na dwie ostatnie cyfry.
- Przez 6: musi dzielić się i przez 2, i przez 3.
Liczba mieszana na ułamek: $2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4}$. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Podzielność przez 12 sprawdzasz przez 3 i 4, a nie przez 2 i 6. Liczba 18 dzieli się przez 2 i przez 6, ale nie przez 12.
1.1Liczby naturalne
- Liczby naturalne to $0, 1, 2, 3, \dots$ Oznaczamy je literą $\mathbb{N}$.
- $m$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n$ dzieli się przez $m$ bez reszty. Zapis $3 \mid 12$ czytamy „3 dzieli 12”.
- Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie. Np. 2, 3, 5, 7, 11, 13.
- Liczba złożona ma więcej dzielników. 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
- Parzysta to $2k$, nieparzysta to $2k+1$.
Dzielenie z resztą: $47 = 3\cdot15+2$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
NWD: wspólne czynniki. NWW: cały rozkład jednej liczby plus brakujące czynniki drugiej.
$12=2\cdot2\cdot3$, $18=2\cdot3\cdot3$, więc $\text{NWD}=2\cdot3=6$, $\text{NWW}=2\cdot2\cdot3\cdot3=36$.
2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. A 1 w ogóle nie jest pierwsza.
1.2Liczby całkowite i wymierne
- Całkowite ($\mathbb{Z}$): naturalne i liczby do nich przeciwne: $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$
- Wymierne ($\mathbb{Q}$): wszystko, co da się zapisać jako ułamek $\frac{m}{n}$ z liczb całkowitych, $n\neq 0$.
- Każda liczba całkowita jest wymierna: $5=\frac51$.
- Minus razy minus daje plus. Parzysta liczba minusów w iloczynie: wynik dodatni.
Kolejność działań: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Odwrotność $\frac ab$ to $\frac ba$. Liczba 0 nie ma odwrotności.
$-47-(-63)$ to $-47+63=16$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie.
1.3Liczby niewymierne
- Niewymierna to liczba, której nie da się zapisać jako ułamek. Np. $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\pi$.
- $\sqrt{n}$ jest albo liczbą naturalną ($\sqrt{49}=7$), albo niewymierną ($\sqrt{50}$).
- Wymierne i niewymierne razem to liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$.
- Kolejność zbiorów: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Wymierna + niewymierna = niewymierna, np. $3+\sqrt7$.
Wymierna (nie zero) · niewymierna = niewymierna, np. $2\sqrt3$.
Zanim zdecydujesz, uprość! $\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4$ jest wymierne, choć wygląda groźnie.
Twierdzenie Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$. Przyprostokątne 1 i 1 dają przeciwprostokątną $\sqrt2$.
1.4Rozwinięcie dziesiętne
- Ułamek zamieniasz na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik: $\frac{13}4=3{,}25$.
- Czasem cyfry powtarzają się bez końca: $\frac16=0{,}1666\ldots=0{,}1(6)$. Nawias to okres.
- Wymierne mają rozwinięcie skończone albo okresowe. Niewymierne: nieskończone i bez okresu.
Skróć ułamek. Jeśli w mianowniku są tylko czynniki 2 i 5, rozwinięcie jest skończone. Każdy inny czynnik daje okresowe.
$0{,}(12)$: $x=0{,}1212\ldots$, $100x=12{,}1212\ldots$, więc $99x=12$ i $x=\frac{12}{99}=\frac4{33}$.
Zaokrąglając, patrz tylko na pierwszą odrzuconą cyfrę: 0–4 bez zmian, 5–9 dodaj 1. $6{,}9874\approx6{,}99$.
1.5Pierwiastek kwadratowy
- $\sqrt a = b$, gdy $b^2=a$ i $b\ge0$. Wynik nigdy nie jest ujemny.
- Z liczby ujemnej pierwiastka kwadratowego nie ma.
- Mnożyć i dzielić pod pierwiastkiem wolno: $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$.
Wyłączanie: szukasz kwadratu w środku. $\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5$.
Niewymierność z mianownika: $\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}$.
$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, a nie $3+4=7$. Dodawać pod pierwiastkiem „po kawałku” nie wolno.
$\sqrt{(-5)^2}=5$, a nie $-5$.
1.6Pierwiastek sześcienny i n-tego stopnia
- $\sqrt[3]a=b$, gdy $b^3=a$. Np. $\sqrt[3]{125}=5$.
- Sześcienny istnieje także z liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-8}=-2$.
- Stopień parzysty (2, 4, 6…): tylko z liczb nieujemnych. Stopień nieparzysty (3, 5…): z każdej liczby.
Sześciany: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Wyłączanie: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]2$.
$\sqrt[4]{-16}$ nie istnieje, ale $\sqrt[5]{-32}=-2$ istnieje.
1.7Potęga o wykładniku naturalnym
- $a^n$ to $a$ pomnożone przez siebie $n$ razy. $a^1=a$, $a^0=1$.
- Liczba ujemna do potęgi parzystej: wynik dodatni. Do nieparzystej: ujemny.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ · $a^m:a^n=a^{m-n}$ · $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
$a^n\cdot b^n=(ab)^n$ · $a^n:b^n=\left(\frac ab\right)^n$
$(-3)^2=9$, ale $-3^2=-9$. Bez nawiasu potęgujesz tylko 3.
$2^3+2^3=2^4$, a nie $2^6$. Wzory działają na mnożenie, nie na dodawanie.
1.8Potęga o wykładniku całkowitym
- Minus w wykładniku odwraca liczbę: $a^{-n}=\frac1{a^n}$, np. $2^{-3}=\frac18$.
- Ułamek: $\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$.
- Wszystkie wzory z 1.7 działają tak samo.
Notacja wykładnicza: $a=x\cdot10^n$, gdzie $1\le x<10$.
$326\,000=3{,}26\cdot10^5$ · $0{,}0097=9{,}7\cdot10^{-3}$
Minus w wykładniku nie robi liczby ujemnej: $2^{-3}=\frac18$, a nie $-8$.
1.9Potęga o wykładniku wymiernym
- $a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$, np. $49^{\frac12}=7$, $8^{\frac13}=2$.
- $a^{\frac mn}$: mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga.
- Najpierw pierwiastek (mniejsze liczby), potem potęga.
$8^{\frac23}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ · $9^{-\frac12}=\frac1{\sqrt9}=\frac13$
Wykładnik dziesiętny zamień na ułamek: $16^{0{,}75}=16^{\frac34}=2^3=8$.